Формула Виеты

Spread the love

Рекомендуемый курс

Туз AMC

Викторины

Релевантно.

  • Алгебра>

Формула Виеты Это было сделано группами.

Например, если существует квадратичный многочлен \ (f (x) = x ^ 2 + 2x -15 \), он будет иметь корни из \ (x = -5 \) и \ (x = 3 \), так как \ (f (x) = x ^ 2 + 2x-15 = (x-3) (x + 5) \). Формула корней \ (\ big (3 + (- 5) = -2 \ big) \) и произведение корней \ (\ big (3 \ cdot (-5) = — 15 \ big) \) без непосредственного нахождения каждого корня. Это нелегко получить. Для некоторых проблем его можно использовать как ярлык для корней.

содержание

Формула Виета — квадратичные уравнения

Начнем с определения.

Формула Виета для квадратичности:

Если \ (f (x) = 0 \) имеет корни \ (r_1 \) и \ (r_2 \), то

Заявление приводится в конце этого раздела.

Помогите определить взаимосвязь корней.

Если \ (\ alpha \) и \ (\ beta \) — значения квадратичной \ (x ^ 2 — 4x + 9 = 0 \)

Из формулы Вите мы признаем, что \ (\ alpha + \ beta = 4 \).

Из формулы Вите мы признаем, что \ (\ alpha \ beta = 9 \).

Формула не дает нам прямое значение \ (\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 \). Нам нужно написать \ (\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 \) в терминах \ (\ alpha + \ beta \) и / или \ (\ alpha \ beta \) и заменить эти значения дюйм У нас есть

\ [\ начать <ll> \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 & = (\ alpha + \ beta) ^ 2 — 2 \ alpha \ beta \ & = 4 ^ 2 — 2 \ times 9 \ & = — 2. \ _ \ square \ \ конец \]

Заметка: Этот вопрос представляет собой комплексные числа \ (2 \ pm \ sqrt <5> i \). Если бы у вас была возможность совершить неосторожные ошибки расчета. Формула Виеты предлагает нам более простой подход.

Корни квадратичной \ (x ^ 2-5x + 6? \)

Если \ (p \) и \ (q \) — корни уравнения, то формула Виета указывает нам

трудно видеть, что \ (2 + 3 = 5 \) и \ (2 \ times 3 = 6. \) Поэтому они должны быть. \ (_ \ квадрат \)

Пусть \ (\ alpha \) и \ (\ beta \) — корни квадратичной \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \), выражают \ (\ dfrac <b ^ 2 — 4a c> <a ^ 2) \) через \ (\ alpha \) и \ (\ beta \).

Вы можете распознать \ (b ^ 2 — 4ac \) из квадратичной формулы. Фактически, мы можем показать, что

что доказывает квадратичную формулу.

Так как многочлен \ (f (x) \) имеет корни \ (r_1 \) и \ (r_2 \), он имеет вид \ (f (x) = A (x — r_1) (x — r_2) = A x ^ 2 — A (r_1 + r_2) x + A r_1r_2 \) для некоторой константы \ (A \).

Сравнивая коэффициенты с \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c \), заключаем, что \ (a = A, b = -A (r_1 + r_2) \) и \ (c = A r_1 r_2 \) , Следовательно, получаем

Формула Виета — образующая квадратичность

Пусть \ (р \) и \ (д \) — вещественные корни мононического квадратичного уравнения

Почему monic? Есть возможность получить ее версию. Итак, что мы можем сказать о \ (b, c \)? Так как \ (p \) и \ (q \) — корни этого уравнения,

Расширяя правую сторону и переставляя, мы находим

Если у вас есть только два коэффициента, вы можете

Это так называемая квадратичная полиномиальная формула. Его можно аналогичным образом распространить на многочлены с более высокой степенью.

Корни могут быть обобщены и содержать комплексные числа. То есть, учитывая два комплексных числа \ (p \) и \ (q \), наши корни имеют вид \ (p \) и \ (q \). Более конкретно, квадратичный будет

Когда оба коэффициента будут реальными? Чтобы найти ответ, установите \ (p = p_1 + p_2 i \) и \ (q = q_1 + q_2 i \). Тогда коэффициенты

\ [\ начать & b = — \ left (p_1 + q_1 \ right) — \ left (p_2 + q_2 \ right) i, & c = \ left (p_1q_1-p_2q_2 \ right) + \ left (p_1q_2 + p_2q_1 \ right) i. \ конец\]

Для того чтобы \ (b \) было вещественным, нам нужно \ (p_2 + q_2 = 0 \ Rightarrow p_2 = -q_2 \). Для того чтобы \ (c \) было вещественным, нам нужно

\ [p_1q_2 + p_2q_1 = 0 \ Rightarrow q_2 \ left (p_1-q_1 \ right) = 0, \]

подразумевая либо \ (q_2 = 0 = p_2 \), либо \ (p_1 = q_1 \). Следовательно, нам нужны либо \ (p \), либо \ (q \) вещественные, либо \ (p \) и \ (q \) являются комплексно сопряженными друг с другом.

Найти квадратичную структуру, корни которой равны \ (2 \) и \ (5 \).

Пусть квадратичная форма | (x ^ 2 + bx + c \), где мы хотим найти \ (b \) и \ (c \). Тогда формула Виеты сообщает нам, что

Поэтому квадратичным является \ (x ^ 2-7x + 10. \) \ (_ \ Square \)

Найти квадратичную структуру, корни которой | (3 + 2i \) и \ (3-2i \).

Пусть искомая квадратичная точка | (х ^ 2 + Ьх + с \), где мы хотим найти \ (Ь \) и \ (с \). Тогда формула Виета говорит нам

\ [\ начать & b = — \ left [\ left (3 + 2i \ right) + \ left (3-2i \ right) \ right] = — 6, & c = \ left (3 + 2i \ right) \ left (3- 2i \ right) = 13. \ end\]

Таким образом, искомая квадратичная функция | (x ^ 2-6x + 13. \) \ (_ \ Square \)

ЗаметкаТак как корни квадратичной стали вещественными.

Решите систему уравнений

По формуле Виеты мы знаем, что \ (a \) и \ (b \) являются корнями уравнения \ (x ^ 2 — 7x + 10 = 0 \).Поскольку мы можем разложить его на \ ((х-2) (х-5) = 0 \), получим, что \ (\ <а, Ь \> = \ <2, 5 \>. \) \ (_ \ квадрат \)

Обобщение на полиномы высших степеней

Рассмотрим квадратичное уравнение с комплексными коэффициентами и корнями \ (r_1 \), \ (r_2: \)

Сравнивая коэффициенты, мы можем видеть, что

Это дает многочлен и коэффициенты многочлена. Для многочлена степени \ (п \) имеем следующую формулу:

Формула Виеты:

Пусть \ (P (x) = a_nx ^ n + a_х ^+ \ cdots + a_0 \) — многочлен с комплексными коэффициентами и степенным комплексом (с комплексными корнями \ (r_n, r_, \ ldots, r_1 \). Тогда для любого целого числа \ (0 \ leq k \ leq n, \)

Выражения представляют собой элементарные симметричные функции от \ (r_1, r_2, \ ldots r_n \). Доказательство уравнения

\ [a_nx ^ n + a_х ^+ \ cdots + a_0 = a_n (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) \ cdots (x-r_n). \]

Сумма корней задается следующим образом:

Аналогично, для произведения корней имеем следующее уравнение:

\ [r_1 r_2 \ cdots r_n = (-1) ^ n \ frac>.\]

Формула Виеты дает отношения между полиномиальными корнями и коэффициентами, которые часто полезны.

Предположим, что \ (k \) — число кубических многочленов \ (P (x) = -2x ^ 3 + 48 x ^ 2 + k \) имеет три числа. Сколько возможных различных значений существует для \ (k? \)

Обозначим через \ (p, q, \) и \ (r \) три целых корня из \ (P (x) \). Тогда имеем \ (pq + qr + pr = 0 \), но поскольку \ (p, q \) и \ (r \) простые, \ (P (x) \) существует. \ (_ \ квадрат \)

[1968 Путнамский экзамен] Найти все многочлены \ (P (x) = x ^ n + a_х ^+ \ cdots + a_0 \), что \ (a_i = \ pm 1 \) для всех \ (0 \ leq i \ leq n-1 \).

Если \ (r_1, r_2, \ cdots, r_n \) — вещественные корни \ (P (x) \), то из формулы Виета следует

Пусть \ (r_1, r_2 \) и \ (r_3 \) — корни многочлена \ (5x ^ 3 -11x ^ 2 + 7x + 3 \). Оцените \ (r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3. \)

Нет необходимости, чтобы выражение было преобразовано. Из факторизации 4 имеем

\ [r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3 = 3r_1r_2r_3 + (r_1 + r_2 + r_3) \ left [r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2- (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \ right]. \]

Теперь нам нужно только знать, как вычислить \ (r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 \). Опять же, из факторизации мы имеем

что позволяет сделать вывод о том, что

\ [\ начать <ll> r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3 & = 3r_1r_2r_3 + (r_1 + r_2 + r_3) \ left [r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2- (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \ right] \ & = 3r_1r_2r_3 + (r_1 + r_2 + r_3) \ left [(r_1 + r_2 + r_3) ^ 2-3 (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \ right] \ & = 3 \ times \ left (- \ frac <3 > <5> \ right) + \ left (\ frac <11> <5> \ right) \ left [\ left (\ frac <11> <5> \ right) ^ 2-3 \ times \ frac <7> <5> \ right] \ & = — \ frac <49> <125>. \ _ \ square \ end \]

Ссылка на основную публикацию
close-link